Exercício resolvido [1] : Equação do segundo grau incompleta.

${\large 1)}$ Resolva a seguinte equação do segundo grau incompleta:

 ${\normalsize 5(x^2-1)=4(x^2 + 1)}$ 

${\large Resolução}$

Para resolver esta equação, primeiro temos que fazer a operação distributiva, ou seja, multiplicar o ${\normalsize 5}$ e o {\normalsize 4} pelos termos que estão no parênteses. Fazendo isso, temos:

${\normalsize 5x^2 -5 = 4x^2 + 4}$

Passando os termos com ${\normalsize x}$ para o primeiro membro( lado esquerdo da equação) e os termos independentes( números) para o segundo membro da equação, temos:

 ${\normalsize 5x^2 - 4x^2= 4 + 5}$

 ${\normalsize x^2=9}$

Esta é uma equação do segundo grau conhecida, do tipo ${\normalsize ax^2= c}$, onde ${\normalsize a}$ é um número posisitvo diferente de zero e ${\normalsize c}$ é um número positivo. As suas raízes são do tipo $ \sqrt{c}$ e $ - \sqrt{c}$ .

No nosso casso temos ${\normalsize a=1}$ e ${\normalsize c=9}$. Com isso temos: 

${\normalsize x=±\sqrt{9}}$

 ${\normalsize x_{1}= 3}$

 ${\normalsize x_{2}= - 3}$

A função cosseno e seu gráfico

A função cosseno é uma função trigonométrica dita periódica, ou seja, ela se repete após um período, que é constante.

Uma função cosseno é representada na forma abaixo:

${\Large f(x)=\cos x}$

Vejamos algumas características importantes da função cosseno.

${\large Período}$

O período desta função é de ${2\pi}$  e por consequência, ela se repetirá a cada intervalo de ${2\pi}$

${\large Domínio}$

O valor que a variável  ${\normalsize x}$ pode assumir é qualquer um, portanto o domínio desta função é ${\large D=R}$

${\large Imagem}$

A Imagem é o intervalo onde os valores de ${\normalsize f(x)} $ se encontram. No caso, a função cosseno vai de $-1$ até $1$ e portanto a sua imagem é de $Im=[-1,1]$

${\large Gráfico}$

O gráfico da função cosseno tem a forma dita ${\normalsize cossenóide}$ e ele é mostrado abaixo:

Vamos verificar se o gráfico está correto?

Se calcularmos:

${\Large \cos 0=1}$

${\Large \cos \frac{\pi}{2}=0}$

${\Large\cos \pi=-1}$

${\Large \cos \frac{3\pi}{2}=0}$

${\Large \cos 2\pi=1}$


Veja que os valores condizem exatamente com o gráfico. Caso você quisesse fazer um gráfico da função, bastava calcular antes estes 5 pontos "chaves".

Vamos agora a mais alguns exemplos expressões coma função cosseno.


${\large 1) }$ Desenhe o gráfico da função $f(x)=3\cos x$


${\large Solução }$


É bem simples fazer este gráfico, veja:



${\Large 3.\cos 0=3}$

${\Large 3.\cos \frac{\pi}{2}=0}$

${\Large 3.\cos \pi=-3}$

${\Large3.\cos \frac{3\pi}{2}=0}$

${\Large3.\cos 2\pi=3}$


Veja que todos os valores foram multiplicados por ${3}$. De maneira geral, qualquer função da forma ${f(x)=A.\cos x}$, com ${\normalsize A}$ sendo qualquer número real, temos as amplitudes da função cosseno multiplicadas por ${\normalsize A}$. E o gráfico desta função é:

Observações importantes:

O período desta função continua sendo ${2\pi}$

A amplitude desta função agora é de ${3}$


Agora é importante atentar para a diferença entre este exercício acima e o abaixo. Veja:


${\large 2) }$ Desenhe o gráfico da função $f(x)=\cos 3x$


${\large Solução}$

Veja que agora, os valores ${\large 0}$ , ${\large \frac{\pi}{2}}$ , ${\large \pi}$ , ${\large \frac{3\pi}{2}}$ e ${\large2 \pi}$ serão divididos por ${\large 3}$ e com isso mudará o valor do argumento da função cosseno. Isso ocorre porque a imagem da função cosseno tem uma imagem $Im=[-1,1]$. Quanto mais aumentamos o argumento, mais "comprimida" a função irá se tornando.



${\Large\cos 0=1}$

${\Large \cos \frac{\pi}{6}=0}$

${\Large \cos \frac{\pi}{3}=-1}$

${\Large \cos \frac{\pi}{2}=0}$

${\Large \cos \frac{2\pi}{3}=0}$

O gráfico desta função é mostrado abaixo:

Observações importantes:

O período desta função agora é  ${\Large \frac{2\pi}{3}}$

A amplitude continua sendo  ${1}$

Questão de função do segundo grau

${\large 1)}$Ache as raízes e o vértice da parábola da seguinte função do segundo grau:  ${\normalsize y=x^2-6x+5}$

${\Large Solução}$

Para achar as raízes desta equação, basta fazermos ${\normalsize y=0}$ e isso corresponde a achar os possíveis pontos em que a função corta o eixo dos x.

Encontremos então as raízes da equação

${x^2-6x+5 =0}$

Agora calculemos o valor do discriminantes ${\Delta}$  e depois usemos a fórmula de bhaskara. Sabendo que

\begin{equation}
\Delta=b^2-4.a.c
\end{equation}

${\Delta=6^2 -4\times 1 \times 5}$

${\Delta=36-20}$

${\Delta=16}$

Agora,utilizando a fórmula de bhaskara:

\begin{equation}
x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2\times a}
\end{equation}


Achemos as dua raízes:

${\Large x=\frac{6 \pm \sqrt{16}}{2.a}}$

${\Large x=\frac{6 \pm 4}{2}}$

${\Large x_{1}= \frac{6+4}{2}}$

${\Large x_{2}= \frac{6-4}{2}}$

${\Large x_{1}=5}$

${\Large x_{2}=1}$

Para calcular o vértice da parábola, temos as expressões para a coordenada ${\normalsize y}$ do vértice ${y_{v}}$  e para a coordenada ${\normalsize x}$ do vértice ${x_{v}}$ dadas pelas expressões abaixo:

\begin{equation}
y_{v}=\frac{-\Delta}{4.a}
\end{equation}

\begin{equation}
 x_{v}=\frac{-b}{2.a}
\end{equation}


Calculando para cada caso, temos:

${\Large y_{v}= -4}$  

${\Large x_{v}= 3}$

Como calcular o número de diagonais de um polígono convexo

Podemos calcular o número de diagonais de um polígono convexo usando a seguinte expressão abaixo:

${\LARGE D=\frac{n(n-3)}{2}}$

Onde o ${\normalsize D}$ é o número de diagonais e ${\large n}$ é o número de lados do polígono. Assim, só basta você saber o número de lados do polígono em questão e aplicar esta fórmula, que você terá "magicamente" o número de diagonais.


Vejamos alguns exemplos.


${\large 1) }$ Calcule o número de diagonais de um quadrado.

O quadrado tem ${\normalsize 4}$ lados. Utilizemos a nossa fórmula acima:

${\large D=\frac{4(4-3)}{2}} $

${\large D=\frac{4 \times 1}{2}} $

${\large D=2}$

Então o quadrado tem ${\normalsize duas}$ diagonais. No caso do quadrado é até perda de tempo usar esta fórmula, pois vemos facilmente que o quadrado tem ${\normalsize duas}$ diagonais, como mostra a figura abaixo:

Mas veja o exemplo abaixo:


${\large 2) }$ Calcule o número de diagonais de um icoságono


O isoságono tem ${\normalsize20}$ lados. Utilizemos a nossa fórmula acima:

${\large D=\frac{20(20-3)}{2}} $

${\large D=\frac{ 20\times 17}{2}} $

${\large D=170}$

Vimos agora que o número de diagonais é enorme. Imagine agora você ter que desenhar e contar estas ${\normalsize 170}$ diagonais. Veja como seria quase impossível:

A partir desta parte iremos agora fazer uma dedução da fórmula do número de diagonais. Esta parte é para quem já tem o conhecimento de análise combinatória ou para um estudante que deseje ter uma curiosidade de onde vem as coisas.

Dedução

Antes de fazermos qualquer dedução, precisamos antes saber das definições do que iremos deduzir. Estamos tratando de diagonais, por isso precisamos saber o que exatamente são diagonais de um polígono convexo.


Definição

Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos.


De posse da definição, faremos agora a dedução. Vamos pensar: como podemos contar o número de segmentos de reta que combinem sempre dois vértices? A resposta é simples, basta fazermos uma combinação do número de vértices tomando 2 a 2. Em notação matemática, temos:

\begin{eqnarray}

C_v^2 &=& \frac{v!}{2!(v-2)!}

\end{eqnarray}

Mas veja que  ${ (1)}$ calcula todas as combinações possíveis de segmentos de reta. Será que o resultado desta combinação é exatamente o número de diagonais? Pensando mais um pouco você verá que não! Há, neste resultado, o número de segmentos que coincidem com os lados do polígono, portanto estes não são diagonais, já que não são consecutivos.

Assim, temos o número de diagonais calculado abaixo:



\begin{eqnarray}

D = C_v^2 -v &=& \frac{v!}{2!(v-2)!} - v

\end{eqnarray}

Onde ${\large v}$ é o número de vértices, neste caso, igual ao número de lados do polígono.


Podemos reescrever esta equação, fazendo


\begin{equation}
v!=v.(v-1)!=v.(v-1).(v-2)!
\end{equation}

Agora podemos reescrever ${\normalsize (2)}$ da seguinte forma:

\begin{equation}
D=\frac{v.(v-1).(v-2)!}{2.(v-2)!} - v
\end{equation}

Simplificando ${\normalsize (v-2)!  por  (v-2)!}$ , temos:

\begin{equation}
D=\frac{v.(v-1)}{2} - v
\end{equation}

Tirando o mínimo múltiplo comum, e reagrupando os termos, temos

\begin{eqnarray}
D=\frac{v.(v-3)}{2}
\end{eqnarray}

E esta é a fórmula que queríamos demonstrar. Para ficar igual com a primeira, basta trocar o ${\normalsize  v  por   n}$