Podemos calcular o número de diagonais de um polígono convexo usando a seguinte expressão abaixo:
${\LARGE D=\frac{n(n-3)}{2}}$
Onde o ${\normalsize D}$ é o número de diagonais e ${\large n}$ é o número de lados do polígono. Assim, só basta você saber o número de lados do polígono em questão e aplicar esta fórmula, que você terá "magicamente" o número de diagonais.
Vejamos alguns exemplos.
${\large 1) }$ Calcule o número de diagonais de um quadrado.
O quadrado tem ${\normalsize 4}$ lados. Utilizemos a nossa fórmula acima:
${\large D=\frac{4(4-3)}{2}} $
${\large D=\frac{4 \times 1}{2}} $
${\large D=2}$
Então o quadrado tem ${\normalsize duas}$ diagonais. No caso do quadrado é até perda de tempo usar esta fórmula, pois vemos facilmente que o quadrado tem ${\normalsize duas}$ diagonais, como mostra a figura abaixo:
Mas veja o exemplo abaixo:
${\large 2) }$ Calcule o número de diagonais de um icoságono
O isoságono tem ${\normalsize20}$ lados. Utilizemos a nossa fórmula acima:
${\large D=\frac{20(20-3)}{2}} $
${\large D=\frac{ 20\times 17}{2}} $
${\large D=170}$
Vimos agora que o número de diagonais é enorme. Imagine agora você ter que desenhar e contar estas ${\normalsize 170}$ diagonais. Veja como seria quase impossível:
A partir desta parte iremos agora fazer uma dedução da fórmula do número de diagonais. Esta parte é para quem já tem o conhecimento de análise combinatória ou para um estudante que deseje ter uma curiosidade de onde vem as coisas.
Dedução
Antes de fazermos qualquer dedução, precisamos antes saber das definições do que iremos deduzir. Estamos tratando de diagonais, por isso precisamos saber o que exatamente são diagonais de um polígono convexo.
Definição
Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos.
De posse da definição, faremos agora a dedução. Vamos pensar: como podemos contar o número de segmentos de reta que combinem sempre dois vértices? A resposta é simples, basta fazermos uma combinação do número de vértices tomando 2 a 2. Em notação matemática, temos:
\begin{eqnarray}Definição
Diagonal é um segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos.
De posse da definição, faremos agora a dedução. Vamos pensar: como podemos contar o número de segmentos de reta que combinem sempre dois vértices? A resposta é simples, basta fazermos uma combinação do número de vértices tomando 2 a 2. Em notação matemática, temos:
C_v^2 &=& \frac{v!}{2!(v-2)!}
\end{eqnarray}
Mas veja que ${ (1)}$ calcula todas as combinações possíveis de segmentos de reta. Será que o resultado desta combinação é exatamente o número de diagonais? Pensando mais um pouco você verá que não! Há, neste resultado, o número de segmentos que coincidem com os lados do polígono, portanto estes não são diagonais, já que não são consecutivos.
Assim, temos o número de diagonais calculado abaixo:
\begin{eqnarray}
D = C_v^2 -v &=& \frac{v!}{2!(v-2)!} - v
\end{eqnarray}
Onde ${\large v}$ é o número de vértices, neste caso, igual ao número de lados do polígono.
Podemos reescrever esta equação, fazendo
\begin{equation}
v!=v.(v-1)!=v.(v-1).(v-2)!
\end{equation}
Agora podemos reescrever ${\normalsize (2)}$ da seguinte forma:
\begin{equation}
D=\frac{v.(v-1).(v-2)!}{2.(v-2)!} - v
\end{equation}
Simplificando ${\normalsize (v-2)! por (v-2)!}$ , temos:
\begin{equation}
D=\frac{v.(v-1)}{2} - v
\end{equation}
Tirando o mínimo múltiplo comum, e reagrupando os termos, temos
\begin{eqnarray}
D=\frac{v.(v-3)}{2}
\end{eqnarray}
E esta é a fórmula que queríamos demonstrar. Para ficar igual com a primeira, basta trocar o ${\normalsize v por n}$
